Poniżej przedstawiono klasyczne wyniki i wyniki jakościowe wynikające z rozwiązania problemów związanych z tworzeniem optymalnego portfela składającego się z ryzykownych papierów wartościowych, mieszanki ryzykownych i wolnych od ryzyka papierów wartościowych. Pierwszy typ problemów został po raz pierwszy rozważony przez G. Markowitza, a drugi przez D. Tobina.

Ponadto krótko omówiono krótką strategię portfolio zwaną strategią logarytmiczną Kelly'ego.

a) Zadanie stworzenia optymalnego portfela składającego się wyłącznie z ryzykownych papierów wartościowych

Biorąc pod uwagę terminologię (patrz sekcja 6.4.3 powyżej), która określa ilościową charakterystykę portfela papierów wartościowych w postaci matematycznego oczekiwania efektywności portfela (6.4.9) i wariancji efektywności portfela (6.4.12), sformułowanie problemu optymalizacji portfela jest następujące.

Czy wiesz, że: najlepsi menedżerowie w Pune na konta PAMM działają za pośrednictwem Alpari: Ocena konta PAMM ; ocena gotowych portfeli kont PAMM .

Niech Xj - udział inwestycji kapitałowych przypisanych do j-tego typu papierów wartościowych. Wymagane jest znalezienie akcji Xj, odpowiadających im inwestycji w określone papiery wartościowe, przy jednoczesnym zapewnieniu minimalnej wartości kowariancji efektywności portfela („ryzyko”) i z zastrzeżeniem określonej wartości efektywności portfela jako całości. W notacji wektor-macierz problemem optymalizacji portfela papierów wartościowych jest:

gdzie (6.4.27) jest zoptymalizowaną funkcją celu, a wyrażenie:

Ustawia żądaną wartość dla poziomu wydajności portfela papierów wartościowych.

Wyrażenie:

jest warunkiem normalizacji pożądanych zmiennych Xj, ponieważ są one częścią jednostki i muszą łącznie stanowić jednostkę.

W wyrażeniach (6.4.27-6.4.29) używana jest następująca notacja:
V = [Vi, j] jest macierzą kowariancji wydajności papierów wartościowych o wymiarze NxN;
m = [mj] to kolumna wektora oczekiwanej wydajności (wartość oczekiwana), której współrzędne to skuteczność instrumentów finansowych;
I [1] jest wektorem jednokolumnowym;
X = [Xj] jest kolumnowym wektorem nieznanych (pożądanych) proporcjonalnych udziałów w inwestycjach w różne papiery wartościowe;

Symbol T tutaj i wszędzie dalej oznacza operację transpozycji.

W tej formie problem optymalizacji (6.4.27-6.4.29) można rozwiązać na przykład za pomocą metody nieokreślonych mnożników Lagrange'a. Ta technika pozwala zredukować zadanie do ekstremum warunkowego funkcji celu (6.4.27), z ograniczeniami (6.4.28-6.4.29), do zadania do ekstremum bezwarunkowego. Jednak w tym przypadku niektóre pożądane zmienne mogą okazać się ujemne, co oznacza zalecenie pożyczenia papierów wartościowych typu j-tego w wysokości Xj, tj. przeprowadzić operację „sprzedaż bez pokrycia”. Jeśli nie można pożyczyć papierów wartościowych, to oprócz warunków problemu (6.4.27-6.4.29) konieczne jest dodanie warunku braku negatywności wymaganych zmiennych, to znaczy:

dla wszystkich j.

W tym przypadku problem optymalizacji (6.4.27 - 6.4.30) można rozwiązać metodami programowania nieliniowego.

Z sformułowania problemu optymalizacji w postaci (6.4.27 - 6.4.30) oczywiste są następujące wyniki jakościowe:

- marginalne oczekiwane wyniki portfela papierów wartościowych nie mogą przekroczyć skuteczności papieru wartościowego o wartości maksymalnej. Jeśli w wyrażeniu (6.4.28) poziom wydajności jest ustawiony na wartość większą niż maksymalna (maksymalna) wartość efektywności papierów wartościowych, problem nie ma rozwiązania;

- jeżeli określona wartość poziomu efektywności portfela w wyrażeniu (6.4.28) jest równa największej wartości, która, powiedzmy, jest typem j-tego rodzaju papierów wartościowych, wówczas optymalnym portfelem będzie tylko j-ty rodzaj papierów wartościowych;

- niech poziomy efektywności wszystkich papierów wartościowych na rynku będą uszeregowane w kolejności ich spadku. Następnie, jeśli określona wartość poziomu efektywności portfela w wyrażeniu (6.4.28) jest większa lub równa wydajności drugiego co do wielkości członka serii uszeregowanego pod względem skuteczności, wówczas optymalny portfel będzie składał się z nie więcej niż dwóch papierów o najwyższych wartościach efektywności. Proporcjonalna relacja między tymi dwoma rodzajami papierów wartościowych zostanie wybrana w oparciu o minimalną wartość funkcji celu (6.4.27) i tak dalej.

b) Zadanie optymalizacji portfela składającego się z ryzykownych i wolnych od ryzyka papierów wartościowych

Formalnym sformułowaniem problemu optymalizacji portfela mieszanych papierów wartościowych jest:

W wyrażeniach (6.4.31-6.4.34) używana jest dokładnie ta sama notacja, co przy formułowaniu problemu optymalizacji ryzykownego portfela (patrz wyżej), a także przyjęto dodatkowy zapis: r0 jest kolumnowym wektorem efektywności inwestycji w papiery wartościowe wolne od ryzyka; X0 to wektor kolumnowy składający się z udziałów kapitału zainwestowanych w papiery wartościowe wolne od ryzyka.

D. Tobin wykazał, że problem optymalizacji 6.4.31-6.4.34 został rozwiązany łatwiej niż problem optymalizacji czysto ryzykownego portfela. W przypadku połączonego portfela składającego się z papierów wartościowych ryzykownych i wolnych od ryzyka rozwiązanie można uzyskać w formie analitycznej przy użyciu metody Lagrange'a mnożników nieokreślonych.

Kolejność rozwiązania tego problemu polega na tym, że najpierw należy ustawić stosunek części ryzyka i wolnych od ryzyka portfela, a następnie dla wybranego wskaźnika określa się optymalną strukturę części ryzyka portfela.

c) Logarytmiczna strategia Kelly'ego dotycząca optymalizacji portfela papierów wartościowych

W tej metodzie średnia stopa wzrostu przyszłego zwrotu z inwestycji została wybrana jako kryterium optymalności portfela. Przyszły zwrot portfela jest rozumiany jako stosunek jego wartości w czasie t do jego wartości początkowej. Oznacz przez S0 początkową wartość portfela, a przez St wartość portfela w czasie t. Niech Pi będzie współczynnikami charakteryzującymi rentowność, podczas gdy P0 jest rentownością inwestycji wolnej od ryzyka. Jeśli Pi = 1, wtedy i-ty instrument finansowy nie przynosi zysku, jeśli Pii> 0, wówczas instrument finansowy jest opłacalny.

Mając to na uwadze, sformułowanie problemu optymalizacji portfela za pomocą strategii Kelly można przedstawić jako:

gdzie Si = Pi - P0. Po oznaczeniu Z = Si / S0, funkcji celu 6.4.36 w ramach strategii optymalizacji logarytmicznej, Kelly może zostać przepisany w formie:

Istnieje również wiele zalet strategii Kelly w stosunku do innych strategii optymalizacji. W szczególności strategia Kelly jest optymalna w tym sensie, że czas osiągnięcia z góry określonego poziomu rentowności portfela przy jego użyciu jest minimalny. Kolejną zaletą strategii Kelly'ego w porównaniu ze strategią G. Markowitza jest to, że wykorzystuje stochastyczne prognozowanie przyszłych zwrotów portfela.