Нижче наведені класичні постановки і якісні результати, які випливають з рішення задач формування оптимального портфеля, складеного з ризикованих цінних паперів, суміші ризикованих і безризикових цінних паперів. Перший тип завдань вперше розглядався Г.Марковіцем, а другий тип Д. Тобіна.

Крім того, коротко розглянута стратегія формування портфеля, звана логарифмічною стратегією Келлі.

а) Завдання формування оптимального портфеля, складеного тільки з ризикованих цінних паперів

З урахуванням термінології (див. Вище розділ 6.4.3), що визначає кількісні характеристики портфеля цінних паперів у вигляді математичного очікування ефективності портфеля (6.4.9) і дисперсії ефективності портфеля (6.4.12), формулювання задачі оптимізації портфеля виглядає наступним чином.

Чи знаєте Ви, що: найуспішніші в Рунеті керуючі ПАММ-рахунками здійснюють свою діяльність через компанію Альпарі: рейтинг ПАММ-рахунків ; рейтинг готових портфелів ПАММ-рахунків .

Нехай Xj - частка від вкладення капіталу, яка припадає на j-й вид цінних паперів. Потрібно знайти частки Xj, відповідних вкладень в ті чи інші цінні папери, забезпечивши при цьому мінімальне значення коваріації ефективності портфеля ( «ризику») і за умови забезпечення заданого значення ефективності портфеля в цілому. У векторно-матричних позначеннях задача оптимізації портфеля цінних паперів має вигляд:

де (6.4.27) - це оптимізується цільова функція, а вираз:

задає необхідне значення рівня ефективності портфеля цінних паперів.

вираз:

є умовою нормування шуканих змінних Xj, оскільки вони є частками від одиниці і в сумі повинні складати одиницю.

У виразах (6.4.27-6.4.29) прийняті наступні позначення:
V = [Vi, j] - матриця коваріації ефективностей цінних паперів розмірності NxN;
m = [mj] - вектор-стовпець очікуваної ефективності (математичного очікування), координатами якого є ефективності фінансових інструментів;
I [1] - одиничний вектор-стовпець;
X = [Xj] - вектор-стовпець невідомих (шуканих) пропорційних часток вкладення в ті чи інші цінні папери;

Знаком Т тут і скрізь далі по тексту позначена операція транспонування.

У зазначеному вигляді завдання оптимізації (6.4.27-6.4.29) може бути вирішена, наприклад, за допомогою методу невизначених множників Лагранжа. Зазначений прийом дозволяє звести задачу на умовний екстремум цільової функції (6.4.27), при обмеженнях (6.4.28-6.4.29), до задачі на безумовний екстремум. Однак, в цьому випадку деякі з шуканих змінних можуть виявитися негативними, що означає рекомендацію взяти в борг цінні папери j-го виду в кількості Xj, тобто провести операцію «продаж без покриття». Якщо взяття в борг цінних паперів неможливо, то додатково до умов завдання (6.4.27-6.4.29) необхідно додати умова невід'ємності шуканих змінних, тобто:

для вcex j.

У цьому випадку завдання оптимізації (6.4.27 - 6.4.30) може бути вирішена методами нелінійного програмування.

З постановки задачі оптимізації у вигляді (6.4.27 - 6.4.30) очевидні наступні якісні результати:

- гранична очікувана ефективність портфеля цінних паперів не може перевищити ефективності цінного паперу, що має максимальне значення. Якщо у виразі (6.4.28) заданий рівень ефективності більше граничного (максимального) значення ефективності цінних паперів, то задача не має рішення;

- якщо задане значення рівня ефективності портфеля в вираженні (6.4.28) дорівнює самому більшому значенню, яке, скажімо, має j-й вид цінних паперів, то в оптимальний портфель буде входити тільки j-й вид цінних паперів;

- нехай рівні ефективності всіх наявних на ринку цінних паперів проранжовано в порядку їх зменшення. Тоді, якщо задане значення рівня ефективності портфеля в вираженні (6.4.28) більше або дорівнює ефективності другого за величиною члена проранжувати по ефективності ряду, то в оптимальний портфель буде входити не більше двох цінних паперів з найбільшими значеннями ефективності. Пропорційне співвідношення між цими двома видами цінних паперів будуть вибиратися виходячи з мінімуму значення цільової функції (6.4.27) і так далі.

б) Завдання оптимізації портфеля, складеного з ризикових і безризикових цінних паперів

Формальна постановка задачі оптимізації змішаного портфеля цінних паперів має вигляд:

У виразах (6.4.31-6.4.34) прийняті точно такі ж позначення, як і в постановці завдання оптимізації ризикованого портфеля (див. Вище), а також прийняті додатково позначення: r0 - вектор-стовпець ефективності вкладень в ризикові цінні папери; X0 - вектор-стовпець, що складається з часткою капіталу, вкладеного в безризикові цінні папери.

Д. Тобін показано, що задача оптимізації 6.4.31-6.4.34 вирішується простіше, ніж завдання оптимізації чисто ризикового портфеля. Для комбінованого портфеля, що складається з ризикованих і безризикових цінних паперів, рішення може бути отримано в аналітичній формі за допомогою методу невизначених множників Лагранжа.

Послідовність рішення задачі полягає в тому, що первинно необхідно задатися співвідношенням ризикової і безризиковою частин портфеля, а потім вже для обраного співвідношення визначається оптимальна структура ризикованою частини портфеля.

в) Логарифмічна стратегія Келлі для оптимізації портфеля цінних паперів

У зазначеному методі в якості критерію оптимальності портфеля обрані середні темпи зростання майбутньої прибутковості вкладень. Під майбутньої прибутковістю портфеля розуміється відношення його вартості через час t до його початкової вартості. Позначимо через S0 - початкову вартість портфеля, а через St - вартість портфеля через час t. Позначимо через Pi коефіцієнти, що характеризують прибутковість, при цьому P0 - прибутковість безризикового вкладення. Якщо Pi = 1, то i-й фінансовий інструмент не приносить прибутку, якщо Pii> 0, то фінансовий інструмент є прибутковим.

З огляду на це, постановку задачі оптимізації портфеля з використанням стратегії Келлі можна представити у вигляді:

де Si = Pi - P0. Позначивши через Z = Si / S0, цільову функцію 6.4.36 в рамках логарифмічною стратегії оптимізації Келлі можна переписати у вигляді:

Існує також ряд переваг стратегії Келлі перед іншими стратегіями оптимізації. Зокрема, стратегія Келлі оптимальна в тому сенсі, що час досягнення будь-якого наперед заданого рівня прибутковості портфеля при її використанні мінімально. Інша перевага стратегії Келлі в порівнянні зі стратегією Г.Марковіца полягає в тому, що в ній використовується стохастичне прогнозування майбутньої прибутковості портфеля.