Ніжэй прыведзены класічныя пастаноўкі і якасныя вынікі, наступныя з рашэння задач фарміравання аптымальнага партфеля, складзенага з рызыкоўных каштоўных папер, сумесі рызыкоўных і безрызыкоўнымі каштоўных папер. Першы тып задач ўпершыню разглядаўся Г. Марковицем, а другі тып Д. Тобін.

Акрамя таго, коратка разгледжана стратэгія фарміравання партфеля, званая лагарыфмічнай стратэгіяй Кэлі.

а) Задача фарміравання аптымальнага партфеля, складзенага толькі з рызыкоўных каштоўных папер

З улікам тэрміналогіі (гл. Вышэй раздзел 6.4.3), якая вызначае колькасныя характарыстыкі партфеля каштоўных папер у выглядзе матэматычнага чакання эфектыўнасці партфеля (6.4.9) і дысперсіі эфектыўнасці партфеля (6.4.12), фармулёўка задачы аптымізацыі партфеля выглядае наступным чынам.

Ці ведаеце Вы, што: самыя паспяховыя ў Рунэце кіраўнікі ПАММ-рахункамі ажыццяўляюць сваю дзейнасць праз кампанію Альпары: рэйтынг ПАММ-рахункаў ; рэйтынг гатовых партфеляў ПАММ-рахункаў .

Хай Xj - доля ад укладання капіталу, якая прыходзіцца на j-й выгляд каштоўных папер. Патрабуецца знайсці долі Xj, адпаведных укладанняў у тыя ці іншыя каштоўныя паперы, забяспечыўшы пры гэтым мінімальнае значэнне каварыяцыі эфектыўнасці партфеля ( «рызыкі») і пры ўмове забеспячэння зададзенага значэння эфектыўнасці партфеля ў цэлым. У вектарна-матрычных пазначэннях задача аптымізацыі партфеля каштоўных папер мае выгляд:

дзе (6.4.27) - гэта оптимизируемая мэтавая функцыя, а выраз:

задае патрабаванае значэнне ўзроўню эфектыўнасці партфеля каштоўных папер.

выраз:

з'яўляецца ўмовай нормировки шуканых зменных Xj, паколькі яны з'яўляюцца долямі ад адзінкі і ў суме павінны складаць адзінку.

У выразах (6.4.27-6.4.29) прынятыя наступныя абазначэнні:
V = [Vi, j] - матрыца каварыяцыі Эфектыўна каштоўных папер памернасці NxN;
m = [mj] - вектар-слупок чаканай эфектыўнасці (матэматычнага чакання), каардынатамі якога з'яўляюцца эфектыўнасці фінансавых інструментаў;
I [1] - адзінкавы вектар-слупок;
X = [Xj] - вектар-слупок невядомых (шуканых) прапарцыйных доляй ўкладанні ў тыя ці іншыя каштоўныя паперы;

Знакам Т тут і ўсюды далей па тэксце пазначаная аперацыя Транспанаванне.

Ва ўказаным выглядзе задача аптымізацыі (6.4.27-6.4.29) можа быць вырашана, напрыклад, з дапамогай метаду нявызначаных множнікаў Лагранжа. Ўказаны прыём дазваляе звесці задачу на ўмоўны экстрэмуму мэтавай функцыі (6.4.27), пры абмежаваннях (6.4.28-6.4.29), да задачы на ​​безумоўны экстрэмуму. Аднак, у гэтым выпадку некаторыя з шуканых зменных могуць апынуцца адмоўнымі, што азначае рэкамендацыю ўзяць у доўг каштоўныя паперы j-га віду ў колькасці Xj, г.зн. правесці аперацыю «продаж без пакрыцця». Калі узяцце ў доўг каштоўных папер немагчыма, то дадаткова да ўмоў задачы (6.4.27-6.4.29) неабходна дадаць ўмова неадмоўнага шуканых зменных, гэта значыць:

для вcex j.

У гэтым выпадку задача аптымізацыі (6.4.27 - 6.4.30) можа быць вырашана метадамі нелінейнага праграмавання.

З пастаноўкі задачы аптымізацыі ў выглядзе (6.4.27 - 6.4.30) відавочныя наступныя якасныя вынікі:

- лімітавая чаканая эфектыўнасць партфеля каштоўных папер не можа перавысіць эфектыўнасці каштоўнай паперы, якая мае максімальнае значэнне. Калі ў выразе (6.4.28) зададзены ўзровень эфектыўнасці больш гранічнага (максімальнага) значэння эфектыўнасці каштоўных папер, то задача не мае рашэнні;

- калі зададзенае значэнне ўзроўню эфектыўнасці партфеля ў выразе (6.4.28) роўна самому большаму значэнні, якое, дапусцім, мае j-й выгляд каштоўных папер, то ў аптымальны партфель будзе ўваходзіць толькі j-й выгляд каштоўных папер;

- хай ўзроўні эфектыўнасці ўсіх наяўных на рынку каштоўных папер праранжыравалі ў парадку іх змяншэння. Тады, калі зададзенае значэнне ўзроўню эфектыўнасці партфеля ў выразе (6.4.28) больш або роўна эфектыўнасці другога па велічыні члена праранжыравалі па эфектыўнасці шэрагу, то ў аптымальны партфель будзе ўваходзіць не больш за два каштоўных папер з найбольшымі значэннямі эфектыўнасці. Прапарцыйнае суадносіны паміж гэтымі двума відамі каштоўных папер будуць выбірацца зыходзячы з мінімуму значэння мэтавай функцыі (6.4.27) і гэтак далей.

б) Задача аптымізацыі партфеля, складзенага з рызыковых і безрызыкоўнымі каштоўных папер

Фармальная пастаноўка задачы аптымізацыі змешанага партфеля каштоўных папер мае выгляд:

У выразах (6.4.31-6.4.34) прыняты сапраўды такія ж абазначэння, як і ў пастаноўцы задачы аптымізацыі рызыкоўнага партфеля (гл. Вышэй), а таксама прынятыя дадаткова абазначэння: r0 - вектар-слупок эфектыўнасці ўкладанняў у безрызыкоўнымі каштоўныя паперы; X0 - вектар-слупок, які складаецца з доляй капіталу, які ўкладаецца ў безрызыкоўнымі каштоўныя паперы.

Д. Тобін паказана, што задача аптымізацыі 6.4.31-6.4.34 вырашаецца прасцей, чым задача аптымізацыі чыста рызыкоўнага партфеля. Для камбінаванага партфеля, які складаецца з рызыкоўных і безрызыкоўнымі каштоўных папер, рашэнне можа быць атрымана ў аналітычнай форме з дапамогай метаду нявызначаных множнікаў Лагранжа.

Паслядоўнасць вырашэння задачы складаецца ў тым, што першасна неабходна задацца суадносінамі рызыковай і безрызыкоўнымі частак партфеля, а затым ужо для абранага суадносін вызначаецца аптымальная структура рызыкоўнай часткі партфеля.

в) Лагарыфмічная стратэгія Кэлі для аптымізацыі партфеля каштоўных папер

Ва ўказаным метадзе ў якасці крытэрыю аптымальнасці партфеля выбраны сярэднія тэмпы росту будучай даходнасці укладанняў. Пад будучай прыбытковасцю партфеля разумеецца стаўленне яго кошту праз час t да яго пачатковай кошту. Абазначым праз S0 - пачатковую кошт партфеля, а праз St - кошт партфеля праз час t. Абазначым праз Pi каэфіцыенты, якія характарызуюць прыбытковасць, пры гэтым P0 - прыбытковасць безрызыкоўнымі ўкладанні. Калі Pi = 1, то i-й фінансавы інструмент не прыносіць прыбытку, калі Pii> 0, то фінансавы інструмент з'яўляецца прыбытковым.

З улікам гэтага, пастаноўку задачы аптымізацыі партфеля з выкарыстаннем стратэгіі Кэлі можна прадставіць у выглядзе:

дзе Si = Pi - P0. Пазначыўшы праз Z = Si / S0, мэтавую функцыю 6.4.36 ў рамках лагарыфмічнай стратэгіі аптымізацыі Кэлі можна перапісаць у выглядзе:

Існуе таксама шэраг пераваг стратэгіі Кэлі перад іншымі стратэгіямі аптымізацыі. У прыватнасці, стратэгія Кэлі аптымальная ў тым сэнсе, што час дасягнення любога загадзя зададзенага ўзроўню даходнасці партфеля пры яе выкарыстанні мінімальна. Іншая перавага стратэгіі Кэлі ў параўнанні са стратэгіяй Г.Марковица складаецца ў тым, што ў ёй выкарыстоўваецца стахастычнага прагназаванне будучай даходнасці партфеля.